Заряженные частицы в поле конденсатора. Движенне заряженных частиц в электростатическом поле

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Движение заряженн ой частицы в электрическом поле

Частица фосфора с начальной энергией влетает в плоский конденсатор электроемкостью с начальной скоростью, разностью потенциалов, с квадратными пластинам, расстояние между которыми, под углом к отрицательно заряженной пластинке на расстоянии от положительно заряженной пластины. Определить начальную энергию частицы фосфора, длину стороны квадратной пластины, заряд пластины и энергию электрического поля конденсатора. Построить следующие графики зависимостей: - зависимость координаты - частицы от ее положения «x»; - зависимость кинетической энергии частицы от времени полета в конденсаторе.

Решение

Основные теоретические положения

Точечный заряд - заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Закон Кулона: сила взаимодействияFмежду двумя точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния rмежду ними:

Напряженностью электростатического поля называется величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в данную точку:

Конденсатор -система из двух проводников (обкладок) с одинаковыми по модулю но противоположными по знаку зарядами, форма и расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками. Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, сторонние заряды, возникающие на обкладках, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Емкость конденсатора - физическая величина, равная отношению заряда, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

Энергия заряженного проводника равна работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник:

Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства - создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Также частица обладает энергией.

Энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий, т.е.

Частица, влетающая в конденсатор параллельно его обкладкам, движется равномерно ускоренно, соответственно формула длины этого движения будет иметь вид:

Определение параметров частицы

1) Дано: Атомная масса частицы M r =31

Используем следующую формулу для перевода в систему СИ:

1 а.е.м. = 1,66 10 -27 кг

Следовательно, искомая масса частицы

2) Начальную энергию частицы найдем по формуле:

m=5,15 10 -26 кг

Проверка размерностей:

Поскольку 1эВ=1,602 10 -19 Дж, то

Определение параметров конденсатора

1) Определение заряда пластин конденсатора (Q)

Дано: U=18кВ=1,8 10 4 В

С=0,4 нФ=4 10 -10 Ф

Найти: Q - ?

Используем формулу:

Откуда выразим.

Тогда =7,2мкКл

Проверка размерностей:

2) Определение энергии конденсатора (W)

Дано: С=0,4 нФ=4 10 -10 Ф

U=18 кВ=1,8 10 4 В

Найти: W - ?

Используем формулу:

=0,648 мДж

Проверка размерностей:

3) Определение длины пластины конденсатора (l)

Дано: C=0,4нФ=4 10 -10 Ф

d=12 мм=1,2 10 -2 м

е=1, так как пластины конденсатора находятся в воздушной среде

е 0 =8,85 10 -12 Ф/м

Найти: l - ?

Используем формулу:

Поскольку в условии сказано, что пластина конденсатора представляет собой квадрат, вместо площади Sможно указать l 2 , где l-длина пластины конденсатора.

Тогда =74 см

Проверка размерностей:

Построение графиков зависимостей

Для построения графика y(x) - зависимости координаты - «y» частицы от ее положения «x» требуется найти силу, действующую на частицу в электрическом поле конденсатора.

Сила F - это равнодействующая сила, действующая на частицу в электрическом поле конденсатора, является совокупностью силы тяжести и силы, действующей со стороны конденсатора. Поэтому верно следующее уравнение:

Поскольку обе силы действуют параллельно оси OY, нам понадобится проекция на ось OY.

Проецируя на ось OY, получим:

Сила, действующая на частицу в поле конденсатора, определяется как произведение напряженности поля в центре конденсатора на заряд частицы:

Поскольку сила тяжести, действующая на частицу, много меньше силы, действующей со стороны конденсатора, то силой тяжести можно пренебречь:

Равнодействующая сила F, действующая на частицу, направлена параллельно оси OY, значит проекция ускорения на ось OXравна нулю.

Воспользуемся основными уравнениями кинематики движения материальной точки:

где, - положения материальной точкив начальный момент времени по оси OXи OYсоответственно, м; - проекция начальной скорости на ось OX, м/с; - проекция начальной скорости на ось OY, м/с; t - время, с; - проекция ускорения на ось OX, м/с 2 ; - проекция ускорения на ось OY, м/с 2 ;

Полное ускорение равно:

Поскольку, то;

Используя IIзакон Ньютона, имеем:

Скорость - первая производная от координаты по времени;

Ускорение - вторая производная от координаты по времени, или первая производная от скорости по времени;

Проекции скорости на оси OXи OY:

Результирующий вектор скорости:

Уравнения, описывающие зависимости координат «x» и «y» от времени tcучетом данных:

Находим зависимость yот x:

Подставив полученное уравнениеt(x) в уравнение y(t), получим:

Данные, необходимые для построения графика:

Проверка выражения:

Для построения графика E (t ) - зависимости кинетической энергии частицы от времени полета в конденсаторе - сначала найдем время tдвижения частицы. Для этого воспользуемся следующим уравнением:

Решая данное квадратное уравнение, получим:

Это время движения частицы в конденсаторе.

Уравнения, необходимые для построения графика

Дж, где E - кинетическая энергия частицы,

Поскольку 1эВ=1,602 10 -19 Дж, то формула зависимости E(t) примет вид:

Проверка выражения:

Вывод

В расчетно-графическом задании выполнены следующие задачи:

1) на основе физических законов определены параметры частицы, влетающей в поле конденсатора, и параметры конденсатора:

а) начальная кинетическая энергия частицы

б) заряд пластин конденсатора

в) энергия конденсатора

г) длина пластины конденсатора

2) построены графики зависимостей:

а) y(x) - зависимости координаты - «y» частицы от ее положения «x» - координаты;

б) E (t ) - зависимости кинетической энергии частицы от времени полета в конденсаторе;

Исходя из данных графиков, следует, что:

1) координата «y» частицы увеличивается с увеличением координаты «x» частицы, то есть данная положительная частица прилипает к верхней пластине «- Q »;

2) кинетическая энергия частицы E увеличивается с течением времени t .

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Расчет емкости конденсатора, расстояния между его пластинами, разности потенциалов, энергии и начальной скорости заряженной частицы, заряда пластины. График зависимости тангенциального ускорения иона от времени полета между обкладками конденсатора.

контрольная работа , добавлен 09.11.2013

Исследование особенностей движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Установление функциональной зависимости радиуса траектории от свойств частицы и поля. Определение угловой скорости движения заряженной частицы по круговой траектории.

лабораторная работа , добавлен 26.10.2014

Определение модуля и направления скорости меньшей части снаряда. Нахождение проекции скорости осколков. Расчет напряженности поля точечного заряда. Построение сквозного графика зависимости напряженности электрического поля от расстояния для трех областей.

контрольная работа , добавлен 06.06.2013

Магнитная индукция В численно равна отношению силы, действующей на заряженную частицу со стороны магнитного поля, к произведению абсолютного значения заряда и скорости частицы, если направление скорости частицы таково, что эта сила максимальна.

реферат , добавлен 27.09.2004

Анализ теорий РВУ. Построение релятивистского волнового уравнения отличающегося от даффин-кеммеровского для частицы со спином 1, содержащее кратные представления. Расчет сечений рассеяния на кулоновском центре и Комптон-эффекта для векторной частицы.

дипломная работа , добавлен 17.02.2012

Область горения частицы топлива в топке котельного агрегата при заданной температуре. Расчет времени выгорания частиц топлива. Условия выгорания коксовой частицы в конечной части прямоточного факела. Расчет константы равновесия реакции, метод Владимирова.

курсовая работа , добавлен 26.12.2012

Движение электронов в вакууме в электрическом и магнитном полях, между плоскопараллельными электродами в однородном электрическом поле. Особенности движения в ускоряющем, тормозящем полях. Применение метода тормозящего поля для анализа энергии электронов.

курсовая работа , добавлен 28.12.2014

Монохроматическая электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой меняется по физическому закону. Рассеяние линейно поляризованной волны гармоническим осциллятором. Уравнение движения заряженной частицы в поле электромагнитной волны.

контрольная работа , добавлен 14.09.2015

Изучение движения свободной частицы. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными внешними стенками. Гармонический осциллятор. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект. Качественный анализ решений уравнения Шредингера.

презентация , добавлен 07.03.2016

Понятие механической системы; сохраняющиеся величины. Закон сохранения импульса. Взаимосвязь энергии и работы; влияние консервативной и результирующей силы на кинетическую энергию частицы. Момент импульса материальной точки; закон сохранения энергии.

7.7. Работа и энергия электростатического поля

7.7.2. Движение заряженной частицы в однородном электростатическом поле

Электростатическое поле, совершая работу, изменяет скорость и траекторию движения зарядов. Движение заряженной частицы в плоском конденсаторе (однородное электростатическое поле) наглядно иллюстрирует сказанное.

Начальная скорость частицы направлена перпендикулярно силовой линии поля

На рис. 7.24 показана положительно заряженная частица, влетающая в однородное электростатическое поле перпендикулярно силовым линиям .

Траекторией движения заряженной частицы под действием кулоновской силы (сила тяжести в этой ситуации пренебрежимо мала) является участок параболы.

Проекции скорости

на горизонтальную ось -

v x = v 0 = const,

где v 0 - модуль начальной скорости частицы;

вертикальную ось -

v y = at ,

где t - время движения частицы; a - модуль ускорения, вызванного кулоновской силой F кул:

где m - масса заряженной частицы; q - величина заряда частицы; E - модуль напряженности поля конденсатора; q /m - удельный заряд частицы .

Величина скорости

v = v x 2 + v y 2 = v 0 2 + (q E t m) 2 .

Изменения координат заряженной частицы на выходе из конденсатора определяются следующим образом:

по горизонтальной оси -

∆x = l = v 0 t ,

где ∆x - смещение частицы по горизонтали; l - длина конденсатора; t - время движения частицы в конденсаторе;

вертикальной оси -

Δ y = h = a t 2 2 = q E t 2 2 m ,

где h - отклонение траектории частицы от первоначального направления.

Угол α, который составляет вектор скорости с его первоначальным направлением в произвольный момент времени, определяется формулой

tg α = | v y | v x = q E t m v 0 .

Начальная скорость частицы направлена под углом к силовой линии поля

На рис. 7.25 показана положительно заряженная частица, влетающая в однородное электростатическое поле под углом α к силовым линиям .

Рис. 7.25

Траекторией движения частицы под действием кулоновской силы (сила тяжести в этой ситуации пренебрежимо мала) является участок параболы.

Проекции скорости частицы на координатные оси задаются следующим образом:

на горизонтальную ось -

v x = v 0 cos α = const,

где v 0 - модуль начальной скорости частицы; α - угол, который составляет вектор начальной скорости частицы с горизонтом;

вертикальную ось -

v y = v 0 sin α − at ,

где a - модуль ускорения, вызванного кулоновской силой F кул:

a = F кул m = q E m ,

Величина скорости заряженной частицы в произвольный момент времени определяется по формуле

v = v x 2 + v y 2 = v 0 2 cos 2 α + (v 0 sin α − q E t m) 2 .

Изменения координат заряженной частицы за промежуток времени ∆t = t от начала движения определяются следующим образом:

по горизонтальной оси -

∆x = l = v 0 t cos α,

где ∆x - смещение частицы по горизонтали;

вертикальной оси -

Δ y = | v 0 t sin α − a t 2 2 | = | v 0 t sin α − q E t 2 2 m | ,

где ∆y - смещение частицы по вертикали.

Угол β, который составляет вектор скорости с горизонтом в произвольный момент времени, определяется формулой

tg β = | v 0 sin α − a t | v 0 cos α .

Начальная скорость частицы направлена параллельно силовой линии поля

Траекторией движения положительно заряженной частицы в этом случае является прямая линия. Поэтому целесообразно рассматривать движения частицы вдоль одной из координатных осей (например, Ox ); направление оси удобно выбирать по направлению начальной скорости частицы (рис. 7.26, 7.27). Силу тяжести, действующую на частицу, считаем пренебрежимо малой по сравнению с кулоновской силой F кул.

Модуль ускорения частицы, вызванного действием кулоновской силы, определяется формулой

a = F кул m = q E m ,

где m - масса заряженной частицы; q - величина заряда частицы; E - модуль напряженности поля; q /m - удельный заряд частицы.

Проекция ускорения положительно заряженной частицы на выбранную ось может быть:

положительной, если скорость направлена по силовой линии (см. рис. 7.26);

отрицательной, если скорость направлена противоположно силовой линии (см. рис. 7.27).

Рис. 7.27

Проекция скорости частицы на ось Ox изменяется с течением времени по закону

v x (t ) = v 0 + a x t ,

где a x - проекция ускорения на выбранную ось:

a x = ± q E m .

Модуль скорости заряженной частицы в произвольный момент времени определяется по формуле

v = | v 0 ± q E t m | .

Изменение координаты заряженной частицы за промежуток времени ∆t = t от начала движения (модуль перемещения) определяется следующим образом:

Δ x = | x − x 0 | = | v 0 t ± q E t 2 m | .

Пример 23. Заряженная частица с удельным зарядом 20,0 мКл/кг влетает со скоростью 10,0 м/с в плоский конденсатор перпендикулярно силовым линиям электростатического поля конденсатора, величина напряженности которого равна 300 В/м. Длина обкладок конденсатора составляет 8,00 мм. Пренебрегая силой тяжести частицы, найти ее смещение на выходе из конденсатора.

Решение . На рисунке показано направление силовых линий электростатического поля конденсатора и направление вектора скорости заряженной частицы.

Уравнения движения заряженной частицы в электростатическом поле задаются следующими выражениями:

по горизонтальной оси Ox -

x = v 0 x t = v 0 t ,

где v 0 x - проекция начальной скорости частицы на указанную ось, v 0 x = v 0 = const; v 0 - модуль начальной скорости частицы; t - время;

вертикальной оси Oy -

y = v 0 y t + a y t 2 2 = a t 2 2 ,

где v 0 y - проекция начальной скорости частицы на указанную ось, v 0 y = 0; a y - проекция ускорения частицы на указанную ось, a y = a ; a - модуль ускорения.

Модуль ускорения, вызванного кулоновской силой F кул, определяется формулой

a = F кул m = q E m ,

где q /m - удельный заряд частицы; E - величина напряженности электростатического поля конденсатора.

Пусть частица движется в конденсаторе в течение времени t = τ. Тогда на выходе из конденсатора ее координаты имеют следующие значения:

горизонтальная координата -

x = v 0 τ = l ,

где l - длина обкладок конденсатора;

вертикальная координата -

y = a τ 2 2 = h ,

где h - смещение частицы от первоначального направления (искомая величина).

Записанные уравнения образуют систему, которая с учетом выражения для модуля ускорения приобретает вид

v 0 τ = l , q E τ 2 2 m = h . }

Решение системы относительно h дает формулу

h = q E τ 2 2 m = q E l 2 2 m v 0 2 .

Вычислим значение смещения частицы от первоначального направления:

h = 20,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 300 ⋅ (8,00 ⋅ 10 − 3) 2 2 ⋅ 10 2 = 1,92 ⋅ 10 − 6 м = 1,92 мкм.

Смещение заряженной частицы от первоначального направления за время движения в конденсаторе составляет 1,92 мкм.

Задача 6. Какова максимальная сила взаимодействия между двумя протонами, каждый с энергией 10 6 эВ, летящих во встречных пучках?

Выберем систему отсчета связанную с одним из протонов, тогда скорость второго протона увеличиться в два раза, а его кинетическая энергия - в четыре раза.По мере сближения протонов кинетическая энергия движущегося протона уменьшается, переходя в потенциальную энергию W P взаимодействия двух протонов. Условие остановки протонов:

W К = W P .

Учитывая, что W p = q φ получаем:

W К = q φ  (1)

где q - заряд движущегося протона и

Потенциал поля неподвижного протона, r - расстояние между протонами. Из формул (1-2) находим расстояние r, на которое сблизятся протоны:

. (3)

Зная расстояние r , найдем максимальную силу F взаимодействия протонов. По закону Кулона:

С учетом (3): .

Проверка размерности:

.

q = 1,610 -19 Кл,

W K = 410 6 1,610 -19 = 6,410 -13 Дж.

Задача 7. Электрон испускается верхней пластиной конденсатора с нулевой скоростью. Напряженность поля между пластинами 6 10 5 В/м, расстояние ─ 5 мм. Найти: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение электрона; 3) скорость, с которой электрон подлетает ко второй пластине; 4) плотность заряда на пластинах.

ДАНО: E = 6 10 5 В/м, V 0 = 0, d = 0,05 м.

ОПРЕДЕЛИТЬ: F К ,a , V , s.

1. На частицу с зарядом q в электрическом поле горизонтально расположенного конденсатора действуют две силы:mg - сила тяжести и F К = q E - кулоновская сила со стороны поля.

Результирующая этих сил равна: F = mg + q E .

2. Из второго закона Ньютона, определяем ускорение электрона:

3. Движение электрона - равноускоренное с ускорением а и начальной скоростью, равной нулю. Поэтому:

где d - расстояние между пластинами.

4. Плотность заряда на пластине конденсатора найдем из формулы напряженности поля плоского конденсатора:

Вычисления: Силой тяжести mg вследствие её малости можно пренебречь.

F = 1,6 10 -19 6 10 5 = 9,6 10 -14 (Н).

Задана 8. В пространство между двумя параллельными заряженными пластинами, помещенными в вакуум, параллельно им влетает электрон со скоростью V 0 . На расстоянии L скорость электрона отклоняется на угол α от первоначального направления. Найти напряженность поля конденсатора.

На заряд действует сила Кулона

F = q E,

поэтому электрон приобретает ускорение вдоль оси OY :

. (1)

Скорость электрона вдоль оси Y:

. (2)

Вдоль оси X электрон движется с постоянной скоростью V 0 . Время t , за которое электрон пройдет расстояние L : . (3)

Подставив (3) в (2), получим: . (4)

С другой стороны, можно выразить из треугольника скоростей (см. рис.6):

. (5)

Из формул (4) и (5) находим:

. (6)

Напряженность электростатического поля конденсатора E выразим из соотношения (1) с учетом (6):

Проверка размерности: :

5. Электроемкость

Задача 9. Тысяча одинаковых наэлектризованных капель сливаются в одну, причем их общий заряд сохраняется. Как изменится общая электрическая энергия капель, если считать, что капли сферические и маленькие капли находились на большом расстоянии друг от друга?

Обозначим через радиус, емкость, энергию и заряд одной капли до слияния; радиус, емкость, энергию и заряд большой капли. Приравняем объем капель после и до слияния.